Calculus of Variations and Geometric Measure Theory
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Un approccio variazionale alla regolarità delle frontiere libere singolari

Bozhidar Velichkov (Universite Joseph Fourier (Grenoble))

created by gelli on 11 Jan 2018
modified by velichkov on 17 Jan 2018

7 feb 2018 -- 17:00   [open in google calendar]

Sala Seminari Dipartimento di Matematica di Pisa

Abstract.

In questo seminario affronteremo il problema della regolarità delle frontiere libere dei minimi del funzionale di Bernoulli $u\mapsto\int \vert\nabla u\vert^2+
\{u>0\}
$. Negli anni ottanta, Alt e Caffarelli dimostrarono che le frontiere libere di Bernoulli si possono decomporre in due insiemi disgiunti: l'insieme dei punti regolari (Reg), localmente dato dal grafico di una funzione liscia, e l'insieme dei punti singolari (Sing), di dimensione di Hausdorff al massimo $d-5$. Recentemente, De Silva e Jerison, ispirandosi del risultato di Bombieri - De Giorgi - Giusti per le superfici minime, hanno costruito esplicitamente un cono minimo in $\mathbb{R}^7$ con singolarità isolata nell'origine, dimostrando che l'insieme Sing non è vuoto. L'obiettivo principale di questo seminario è di mostrare che le frontiere libere di Bernoulli con una singolarità isolata sono grafici $C^1$ sui corrispondenti coni minimi. Lo strumento principale è una disuguaglianza variazionale, la disuguaglianza epiperimetrica logaritmica, introdotta in una serie di lavori in collaborazione con Maria Colombo e Luca Spolaor. Infine, mostreremo il risultato analogo per le superfici minime che estende il teorema di Leon Simon. I due risultati sopracitati sono stati ottenuti in collaborazione con Luca Spolaor (Princeton) e Max Engelstein (MIT).

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